Arsip untuk ‘Teori Bilangan’ Kategori

KETERBAGIAN

Posted: 14 April 2010 in Teori Bilangan
Tag:

Keterbagian Dalam Bilangan Bulat

Sifat-sifat yang berkaitan dengan keterbagian telah dipelajari oleh Euclid 350 SM (Niven, 1999:4).  Pengembangan selanjutnya telah banyak dikembangkan oleh beberapa ahli matematika yang lain, misalnya yang berkaitan dengan bilangan komposit, perkalian dalam usaha untuk mengembangkan teori bilangan. Karena pentingnya sifat keterbagian maka akibatnya konsep tersebut sering muncul dalam Aljabar Modern dan Struktur Aljabar (Muhsetyo, 1994:18)

Definisi

Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y x.

Contoh :

1)     3 │12, sebab ada bilangan bulat 4 sedemikian sehingga 12 = (4) 3.

2)     3 │-30, sebab ada bilangan bulat -10 sedemikian sehingga

–30 = (-10)3.

Dalil

Jika a,b,c   Z maka berlaku:

1)     a│ b →  a │bc,  untuk setiap c   Z.

2)     (a │ b, b │c) → a │ c.

3)     (a │ b, b │a) → a = ± b.

4)     (a │ b, a │c) → a │ (b ± c).

5)     (a │ b, a │c) → a │ (ax + by) untuk setiap  x,y   Z.

Untuk selanjutnya ax + by disebut kombinasi linear dari b dan c

6)     ( a>0, b > 0 dan a │b) → a ≤ b.

7)     a │b ↔ ma │ mb untuk setiap m  Z dan m ≠ 0

8) ( ab dan a b+c ) a c.

Nenymoo

(Dalil Algoritma Pembagian)

Jika a > 0, dan a,b  Z, maka ada bilangan-bilangan q, r  Z yang masing-masing tunggal (unique)  sehingga b = qa + r dengan  0 ≤ r < a.

Jika a ┼ b maka r memenuhi ketidaksamaan 0 < r < a.

Bukti.

Misal a, b  Z, maka dapat dibentuk suatu barisan aritmatika b – na, n  Z, yaitu:

…, b –3a, b – 2a, b-a, b, b + a, b + 2a, ….

Barisan di atas mempunyai bentuk umum b – na.

Selanjutnya, misal S adalah suatu himpunan yang unsur-unsurnya suku yang bernilai positip dari barisan b – na, sehingga:

S = { (b – na) │n  Z, dan b – na > 0 }

Menurut prinsip urutan, maka S mempunyai unsur terkecil, sebut saja r. (lebih…)

Konkruensi Linier

Posted: 30 Maret 2010 in Teori Bilangan
Tag:

Kongkruensi

Hem…

Mulai pusing Banyak Tugas….^^